Cấu trúc đề thi tốt nghiệp môn toán

Môn Toán(đề thi tốt nghiệp THPT)
* Phần chung dành cho tất cả thí sinh: (7 điểm)
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)...
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

* Phần riêng (3 điểm):
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu IV.a (2 điểm):
Nội dung kiến thức:
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.a (1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
2. Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (2 điểm):
Nội dung kiến thức:
Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu V.b (1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức.
- Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan.
- Sự tiếp xúc của hai đường cong.
- Hệ phương trình mũ và lôgarit.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

Phần Đại số và Giải tích gồm bốn chủ đề

1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng.

4. Số phức.

Phần Hình học gồm ba chủ đề

1. Khối đa diện và thể tích khối đa diện.

2. Mặt cầu. Mặt trụ. Mặt nón.

3. Phương pháp tọa độ trong không gian.
Trong những nội dung, yêu cầu ôn luyện những kiến thức cơ bản cần nhớ, dạng bài toán cần luyện tập cho tất cả học sinh có phần những kiến thức và dạng bài toán in nghiêng và đậm là phần dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.

Chủ đề 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Hàm số, tính đơn điệu của hàm số. Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.

2. Điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.

3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.

4. Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức đổi tọa độ qua phép tịnh tiến đó.

5. Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị.

6. Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm điểm uốn, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị). Giao điểm của hai đồ thị. Sự tiếp xúc của hai đường cong (điều kiện cần và đủ để hai đường cong tiếp xúc nhau).

Các dạng toán cần luyện tập:

1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc chứng minh bất đẳng thức.

2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại giá trị cực tiểu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình.

3. Vận dụng được phép tịnh tiến hệ tọa độ để biết được một số tính chất của đồ thị.

4. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

5. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số

6. Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.

7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, đi qua một điểm cho trước, biết hệ số góc); viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.

Chủ đề 2. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên của số thực; Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và Lũy thừa với số số mũ thực của số thực dương (các khái niệm và các tính chất).

2. Lôgarit. Lôgarit cơ số a của một số dương (a > 0, a khác 1). Các tính chất cơ bản của lôgarit. Lôgarit thập phân, số e và lôgarit tự nhiên.

3. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit (định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị).

4. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

Các dạng toán cần luyện tập:

1. Dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa.

2. Dùng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.

3. Áp dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit.

4. Áp dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.

5. Vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.

6. Tính đạo hàm các hàm số y = e­­­x, y = ln x. Tính đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit và hàm số hợp của chúng.

7. Giải một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp: phương pháp đưa về lũy thừa cùng cơ số, phương pháp lôgarit hóa, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.

8. Giải một số phương trình, bất phương trình logarit đơn giản bằng các phương pháp: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hóa, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.

9. Giải một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.

Chủ đề 3. Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm. Bảng nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản. Phương pháp đổi biến số. Tính nguyên hàm từng phần.

2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân. Tính tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niu-tơn - Lai-bơ-nit. Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số để tính tích phân.

3. Diện tích hình thang cong. Các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân.

Các dạng toán cần luyện tập:

1. Tính nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên hàm từng phần.

2. Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính nguyên hàm.

3. Tính tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân từng phần.

4. Sử dụng phương pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách đổi biến số và không đổi biến số quá một lần) để tính tích phân.

5. Tính diện tích một số hình phẳng, thể tích một số khối tròn xoay nhận trục hoành, nhận trục tung làm trục nhờ tích phân.

Chủ đề 4. Số phức

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Số phức. Dạng đại số của số phức. Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, số phức liên hợp.

2. Căn bậc hai của số thực âm; Giải phương trình bậc hai, quy về bậc hai với hệ số thực.

3. Căn bậc hai của số phức. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức.

4. Acgumen và dạng lượng giác của số phức. Công thức Moa - vrơ và ứng dụng.

Chủ đề 5. Khối đa diện

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện.

2. Khối đa diện đều, 5 loại khối đa diện đều: tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều và nhị thập diện đều. Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều, bát diện đều và hình lập phương. Phép vị tự trong không gian

3. Thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Công thức thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt.

Các dạng toán cần luyện tập:

Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt.

Chủ đề 6. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Mặt cầu. Giao của mặt cầu và mặt phẳng. Mặt phẳng kính, đường tròn lớn. Mặt

phẳng tiếp xúc với mặt cầu. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu. Công thức tính diện tích mặt cầu.

2. Mặt tròn xoay. Mặt nón, giao của mặt nón với mặt phẳng. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón. Mặt trụ, giao của mặt trụ với mặt phẳng. Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Các dạng toán cần luyện tập:

1. Tính diện tích mặt cầu. Tính thể tích khối cầu.

2. Tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích xung quanh của hình trụ. Tính thể tích khối nón tròn xoay. Tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Chủ đề 7. Phương pháp tọa độ trong không gian

Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ của một vectơ, tọa độ của điểm, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích vectơ (tích có hướng của hai vectơ). Một số ứng dụng của tích vectơ. Phương trình mặt cầu.

2. Phương trình mặt phẳng. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

3. Phương trình đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình chính tắc của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Các dạng toán cần luyện tập:

1. Tính tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số; tính được tích vô hướng của hai vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng, tính thể tích của khối tứ diện. Tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng của hai vectơ.

2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một điểm cho trước, biết đường kính).

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tính góc. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

4. Viết phương trình tham số của đường thẳng (biết đi qua hai điểm cho trước, đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Các kiến thức cơ bản cần nhớ :

1. Hệ tọa độ trong không gian, tọa độ của một vectơ, tọa độ của điểm, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích vectơ (tích có hướng của hai vectơ). Một số ứng dụng của tích vectơ. Phương trình mặt cầu.

2. Phương trình mặt phẳng. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

3. Phương trình đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình chính tắc của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vuông góc với nhau. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Các dạng toán cần luyện tập :

1. Tính tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số; tính được tích vô hướng của hai vectơ, tích có hướng của hai vectơ. Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng, tính thể tích của khối tứ diện. Tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng của hai vectơ.

2. Tính khoảng cách giữa hai điểm có tọa độ cho trước. Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước. Viết phương trình mặt cầu (biết tâm và đi qua một điểm cho trước, biết đường kính).

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng. Tớnh gúc. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

4. Viết phương trình tham số của đường thẳng (biết đi qua hai điểm cho trước, đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước, đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước). Sử dụng phương trình của hai đường thẳng để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng đó. Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng hoặc trên một mặt phẳng. Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng.

Khi ôn tập cần lưu ý một số điểm sau:

1. Trong chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số": yêu cầu mọi học sinh đều học kiến thức về điểm uốn; riêng với học sinh học theo chương trình nâng cao có học thêm các kiến thức kỹ năng về Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức đổi tọa độ qua phép tÞnh tiÕn đó. Sự tiếp xúc của hai đường cong (điều kiện cần và đủ để hai đường cong tiếp xúc nhau). Vận dụng được phép tịnh tiến hệ tọa độ để biết được một số tính chất của đồ thị, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

2. Không xét các phương trình, bất phương trình chứa tham số, cũng như các phương trình, bất phương trình chứa chứa ẩn đồng thời ở cơ số và số mũ, hay chứa ẩn đồng thời ở cơ số và biểu thức dưới dấu logarit (Ví dụ: Giải phương trình log4 (x + 2).logx 2 = 1).

- Học sinh học theo chương trình nâng cao còn được học phương pháp sử dụng tính chất của hàm số mũ, logarit để giải phương trình, bất phương trình mũ, logarit; giải một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.

3. Các tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a; b] đều có chung một giả thiết: Hàm f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b], điều đó dẫn tới việc loại những bài tập cho tính tích phân của hàm số hoặc không xác định ở cận tích phân hoặc ở không xác định ở một điểm, đoạn, ... nào đó trong đoạn lấy tích phân.

- Học sinh học theo chương trình nâng cao còn được học cách tính thể tích khối tròn xoay nhận trục tung làm trục nhê tÝch ph©n.

4. Học sinh học theo chương trình nâng cao còn được học kiến thức kỹ năng liên quan: căn bậc hai của số phức; công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số phức; acgumen và dạng lượng giác của số phức; công thức Moa-vrơ và ứng dụng; biểu diễn được số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác và ngược lại; cách nhân, chia các số phức dưới dạng lượng giác; tính căn bậc hai của số phức; giải phương trình bậc hai với hệ số phức; biểu diễn cos3 anpha, sin4 anpha,... qua cos anpha và sin anpha.

5. Việc tính thể tích các khối đa diện gắn với việc phân chia và lắp ghép các khối đa diện để tính được thể tích các khối đa diện có hình phức tạp.

- Học sinh học theo chương trình nâng cao còn được học về: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện; thêm các khối đa diện đều là thập nhị diện đều và nhị thập diện đều. Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đề, hình lập phương. Phép vị tự trong không gian

6. Cần phân biệt ba khái niệm mặt tròn xoay, hình tròn xoay và khối tròn xoay; Với mặt cầu, ngoài cách xây dựng nhờ trục quay và đường sinh, học sinh được tiếp cận với định nghĩa mặt cầu là tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi R (R>0); cần tránh sai sót khi vẽ hình biểu diễn của mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp các hình đa diện.

7. Học sinh nào cũng phải biết thêm cách tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nhờ tìm tích có hướng của hai vectơ.

- Học sinh học theo chương trình nâng cao còn được tiếp cân với: công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng; Một số ứng dụng của tích vectơ (tính được diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp bằng cách dùng tích có hướng của hai vectơ); tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng; tính khoảng cách giữa hai đường thẳng .

8. Khi sử dụng máy tính cầm tay trong dạy, học và kiểm tra đánh giá cần phân biệt phần toán và tính:

+ Đạo hàm, hệ số...

+ Tính luỹ thừa, logarit, giải phương trình mũ, logarit, giá trị biểu thức, so sánh giá trị biểu thức, so sánh số...

+ Phần toán và tính tích phân (máy tính cầm tay tính được gần đúng tất cả các tích phân của hàm f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a; b] với các cận a, b là những số cụ thể)...

+ Phần toán và tính trên số phức (máy tính cầm tay tính được gần đúng tất cả các phép tính, giải phương trình trên số thực, số phức với các hệ số a, b là những số cụ thể) ...

+ Phần toán và tính, tỷ số thể tích ...

+ Phần toán và tính, tỷ số thể tích của hình hay khối tròn xoay...

+ Phân biệt phần toán và tính vectơ, góc, khoảng cách, tính các hệ số để lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu...

Cần rõ yêu cầu tính đúng và gần đúng của đề bài để giảm tải các yếu tố tính toán bằng việc chấp nhận kết quả tính bởi máy tính cầm tay hoặc phải trình bày lời giải đầy đủ... do đó cần có những đổi mới tương ứng trong việc trình bày bài làm cũng như trong ôn tập.