Mưa đá trong toán học

MƯA ĐÁ TRONG TOÁN HỌC

Trong toán học cũng có mưa đá sao? Vâng, hơn thế nữa, đó là một trận mưa đá dữ dội và dai dẳng không bao giờ dứt. Nếu bạn chưa hiểu thì trước hết xin mời bạn làm bài tính nho nhỏ này.

a) Chọn một số tự nhiên bất kỳ. (X = integer, X>0)
Nếu số này chẵn, chia nó cho 2 (X=X/2). Còn nếu nó lẻ, nhân nó với 3 rồi cộng thêm 1 (X=3X+1).
c) Lặp lại bước b đối với kết quả.

Dần dần bạn sẽ được một dãy số... chưa biết gọi là dãy gì. Nhưng bạn sẽ thắc mắc: chẳng lẽ cứ lặp lại mãi hoài sao? Phải có điều kiện dừng chứ? Bạn đừng lo, quy luật tự nhiên sẽ làm điều này giúp bạn. Bây giờ bắt đầu bằng số út (số 1) nhé:

1: 4, 2, 1

Ồ, với anh chàng này thì quá đơn giản: chỉ cần 3 bước là xong (rõ ràng số 1 là số kết thúc vì nếu ta tiếp tục thì cũng chỉ tạo ra những vòng lặp mới thôi) Bây giờ tiếp đến áp út (số 2):

2: 1, 4, 2, 1

Hì hì, anh này cũng cùng một giuộc, chả khác gì. Sau 4 bước thì nó lại dừng ở số 1. Bây giờ mình thử hỏi bạn: bạn đoán thử xem đối với tất cả các số còn lại, liệu chúng cũng sẽ "dậm chân tại chỗ" tại số 1 như thế này không? (giống như trường hợp hằng số Kaprekar)

Chắc bạn sẽ lắc đầu không tin. Nhưng bạn hãy thử tiếp xem:

3: 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...
4: 2, 1, 4, 2, 1, ...
5: 16, 8, 4, 2, 1, ...
6: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, ...
7: 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,...

Wow! Bây giờ bạn đã bắt đầu thấy phép lạ của tự nhiên ló dạng rồi đó! Không những tất cả các dãy số đều kết thúc ở số 1, mà cái "nút chặn" đó luôn luôn có cấu trúc 3 chữ số 4, 2, 1. (Chính xác hơn thì nó rơi vào một vòng lặp 4, 2, 1 vô tận, nhưng để đơn giản ta cứ xem như nó kết thúc ở đó) Nếu bạn cho rằng đây chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên thì bạn đã nhầm. Người ta đã thử rất nhiều các số còn lại (dĩ nhiên không thể thử tất cả được) và tất cả đều cùng theo quy luật: kết thúc bằng 4, 2, 1 !!

Hình ảnh những con số trong các dãy số mà bạn vừa tạo ở trên cứ trồi lên cao sụt xuống thấp rồi cuối cùng "rơi xuống đất" nằm "thẳng cẳng" rất giống những hạt mưa đá trong đám mây, nên người ta đã gọi chúng là những số mưa đá (Hailstone numbers). Nhưng ý nghĩa của chúng đối với toán học (cụ thể là với lý thuyết số) lớn hơn nhiều một trận mưa đá vật lý bình thường.

Lúc nãy mình đã hỏi bạn "liệu tất cả các số tự nhiên đều cho ra một dãy mưa đá kết thúc bằng 4, 2, 1 hay không?" Thật ra, hỏi là để hỏi thôi, chứ ngay cả các nhà toán học lỗi lạc nhất trên thế giới từ trước đến nay cũng chưa tìm được câu trả lời. Dĩ nhiên qua thực nghiệm thì câu trả lời rõ ràng là "Có", nhưng trong toán học, cái gì chưa chứng minh được bằng lý thuyết thì chưa thể khẳng định thành định lý được, mà vẫn chỉ là "phỏng đoán" (conjecture) mà thôi. Việc tìm phương pháp chứng minh để khẳng định phỏng đoán trên được gọi là bài toán 3x+1 (hoặc 3n+1) hay bài toán Collatz. Mặc dù nó còn nhiều tên khác (lấy từ tên những người đã góp công nghiên cứu và phổ biến nó) nhưng chính nhà toán học Đức Lothar Collatz là người đã nghiên cứu nó đầu tiên vào năm 1937 (khi ông còn là sinh viên). Nhưng mãi đến năm 1952 nhà toán học Anh B. Thwaites mới phát hiện ra tầm quan trọng của nó và cho phổ biến rộng rãi.

Chắc bạn sẽ rất ngạc nhiên vì một bài toán phát biểu cực kỳ đơn giản như thế lại có sức cuốn hút kỳ lạ và làm hao tổn không biết bao nhiêu chất xám của các nhà toán học hàng đầu. Có thể gọi là một cơn sốt cũng không ngoa. Nhà toán học Mỹ S. Kakutani, một trong những người quan tâm nghiên cứu bài toán 3x+1 và được đặt tên cho nó, đã từng phát biểu nửa đùa nửa thật "Có tin đồn rằng bài toán này là một phần trong âm mưu kềm hãm sự phát triển của nền toán học Hoa Kỳ!" Nhà toán học Hungary Paul Erdös cũng từng nhận xét: "Toán học chưa sẵn sàng cho những bài toán kiểu này." Chính Thwaites (nhắc đến ở trên) đã treo giải thưởng 1000 bảng Anh cho ai giải được nó và số tiền này có lẽ sẽ còn tăng. Năm 1999 ở Đức người ta cũng đã tổ chức một hội nghị quốc tế chỉ để bàn về bài toán này. Nhưng sự thật là bài toán cho đến nay vẫn chưa có ai giải được.

Có một mẹo trong toán học: nếu không chứng minh được một phỏng đoán nào đó thì hãy dùng phản ví dụ (counter-example) để bác bỏ nó ! Từ lâu rất nhiều người đã lao vào cuộc săn tìm con số đầu tiên không tuân theo quy luật 4, 2, 1, nhất là khi các máy tính có tốc độ ngày càng nhanh hơn. Theo thông tin mới nhất mà mình tìm hiểu được (tháng 11/2002) thì người ta đã kiểm tra đến con số khổng lồ có 18 chữ số (x1017). Nhưng bạn có biết không, mọi kết quả đều tuân theo quy luật định mệnh của Collatz, vì tất cả các số được thử đều không sớm thì muộn rơi đúng vào "vũng xoáy" 4, 2, 1. Không số nào thoát được. Có lẽ "trận mưa đá" này sẽ còn kéo dài mãi mãi và sẽ không ai có thể chấm dứt được.

Một nguyên nhân nữa khiến các nhà toán học quan tâm tới bài toán Collatz, đó là những dãy số mưa đá được tạo ra từ bài toán 3x+1 có những tính chất rất đặc biệt mà khi nghiên cứu sẽ giúp họ có những hiểu biết sâu sắc hơn về lý thuyết số. Thường người ta nghiên cứu hai đặc tính quan trọng nhất của một dãy mưa đá:

- Số bước (tức là số bước cần tiến hành để một dãy mưa đá quy về 1). Cũng chính là chiều dài của dãy mưa đá. Trong ví dụ trên của chúng ta, số bước của 6 là 8, của 7 là 16, vân vân.
Số bước này có vẻ phân phối ngẫu nhiên không theo quy luật nào cả. Nó có thể rất dài chứ không ngắn như trong ví dụ của chúng ta. Ví dụ với số đầu là 27, dãy mưa đá kéo dài đến 111 bước (tăng đột biến trong phạm vi 100 số đầu). Theo kinh nghiệm thường số bước không cao quá 400 đối với những số đủ nhỏ.

- Đỉnh (tức là số lớn nhất trong dãy mưa đá). Cũng giống như số bước, đỉnh của từng dãy không theo một quy tắc rõ ràng. Dĩ nhiên nó sẽ có thể lên rất cao với những số lớn. Có một điều lạ là có rất nhiều số có chung đỉnh là 9232.

Bài toán Collatz cũng có nhiều biến thể. Ví dụ nếu công thức đổi thành 3x-1 (cũng tương đương với giả thiết cho phép số nguyên âm) thì sẽ không chỉ 1 mà có đến 3 cấu trúc vòng lặp kết thúc khác nhau, trong đó có 1 vòng lặp rất dài (căn cứ vào thực nghiệm). Tại sao phép trừ cho ra đến 3 vòng lặp, trong khi phép cộng chỉ cho ra 1 ? Một câu hỏi khá thú vị, nhưng thôi, mình xin kết thúc ở đây. Bạn nào quan tâm muốn tìm hiểu thêm thì hãy tham khảo tài liệu chuyên môn. Việc này không khó mấy vì bài toán Collatz rất nổi tiếng (thậm chí nổi tiếng không chỉ trong toán học - mình biết có người đã viết nhạc dựa vào những con số của cấu trúc 3x+1 đó!)

chúc các bạn có những ti,f tòi mới trong lĩnh vưc toán học!